Opinión

Matemáticas de la propagación de infecciones en poblaciones

Matemáticas de la propagación de infecciones en poblaciones

Matemáticas de la propagación de infecciones en poblaciones

La Crónica de Hoy / La Crónica de Hoy
*Juan Gonzalo Barajas Ramírez

La historia de la humanidad ha sido marcada por la presencia de enfermedades infecciosas, desde las pestes bíblicas hasta la emergencia actual causada por el COVID-19, la forma en que respondemos a los retos que estas enfermedades presentan determina la forma cómo nos transformamos y evolucionamos como sociedad. En la actualidad tenemos poderosas herramientas para atender este tipo de emergencias, haciendo uso de ellas podremos superar sus efectos con éxito. La herramienta principal que tenemos es el conocimiento científico que hemos acumulado por siglos en áreas como biología, medicina, tecnología y, sobre todo las matemáticas.

Utilizamos nuestros conocimientos matemáticos para crear modelos de la realidad, de esta manera podemos anticipar, verificar y evaluar diferentes escenarios de problemas tan complicados como el curso de una enfermedad infecciosa en una población. Usando modelos matemáticos realizamos simulaciones, ya sea en papel o en equipos de cómputo, que nos permiten analizar la eficiencia de las posibles soluciones, esto con la ventaja de que no necesitamos invertir valiosos recursos ni arriesgamos vidas humanas para determinar el mejor camino a tomar. Por lo tanto, en la actualidad las simulaciones son el primer paso para establecer la eficiencia de tratamientos médicos y políticas de salud pública como los programas de vacunación, cuarentena y sana distancia.

La forma más básica de modelar la evolución de una enfermedad infecciosa es por compartimentos. Es decir, dividiendo la población en grupos según su grado de afectación; así tenemos individuos susceptibles (S), infectados (I) y recuperados (R). El modelo epidemiológico clásico SIR surge bajo las suposiciones de contagio por interacción y transmisión espontánea. Es decir, un individuo susceptible que interactúa con uno infectado se infecta, entonces el número de susceptibles se reduce en uno, mientras que el número de infectados se incrementa en uno. Otra suposición básica del modelo es que la población está perfectamente mezclada, es decir, es igualmente probable para cualquier individuo interactuar con cualquier otro. De modo que se pueden establecer tasas fijas de transición entre los diferentes grupos de la población.

El modelo SIR consiste en ecuaciones diferenciales que describen cómo cambian de tamaño estos grupos. Consideremos que al comenzar toda la población es susceptible a la enfermedad y aparece un individuo infectado: la dinámica de propagación en la población depende de la relación entre las tasa de transición entre compartimentos. Si la tasa de transición de Susceptibles a Infectados es baja y la tasa de Infectados a Recuperados es alta, los infectados rápidamente se recuperan sin tener oportunidad de infectar a más susceptibles, por lo tanto no se presentan brotes epidémicos. Por otro lado, si la tasa de Susceptibles a Infectados es alta y la tasa de Infectados a Recuperados es baja, eventualmente la gran mayoría de los susceptibles tendrán la enfermedad y se presentará una epidemia. A esta relación entre las tasas de transición le llamamos el número reproductivo básico y si es mayor a uno tendremos una epidemia. En el caso del COVID-19 el número está por arriba de dos.

El modelo SIR se puede mejorar de diferentes maneras; una mejora importante es considerar compartimentos adicionales que representen otras etapas de la enfermedad. Por ejemplo, un grupo de individuos en etapa de latencia (L), es decir, capaces de infectar a otros susceptibles pero sin presentar síntomas de la enfermedad. El modelo puede también mejorarse considerando que los recuperados no tienen inmunidad permanente a la enfermedad, de modo que con una tasa dada vuelven a ser susceptibles. De manera que podemos utilizar variantes del modelo SIR clásico, tales como SLIR o SLIRS. Sin embargo, la mejora más significativa que podemos hacer al modelo de infecciones es considerar que la red de contactos de la población tiene una estructura determinada.

Estudios empíricos han mostrado que en la sociedad humana la distancia efectiva entre individuos es muy pequeña comparada con su número de integrantes. Por otro lado, la distribución de contactos se caracteriza por tener una forma de ley de potencia con una pendiente cercana a menos tres, es decir, hay individuos que concentran la mayoría de las conexiones mientras que el resto sólo tiene un número pequeño de contactos y esta proporción no cambia aunque la sociedad cambie de tamaño. Lo anterior significa que la sociedad humana presenta los efectos estructurales de mundo pequeño y escala libre. Dado que la forma determina en gran medida las propiedades dinámicas de los fenómenos que suceden en un sistema, es necesario tomar en cuenta la estructura de la red de contactos en la propagación de infecciones en una población. El principal efecto de tener una población estructurada en el modelado de la propagación de infecciones es que las tasas de transición entre compartimentos ya no pueden ser consideradas como constantes, ya que la probabilidad de ser contagiado depende del número de contactos que se tenga con individuos infectados, el cual es diferente para cada individuo.

En una publicación reciente de la División de Matemáticas del IPICYT investigamos la eficiencia de la cuarentena y la autoprotección como mecanismos de control de epidemias en poblaciones estructuradas [1]. En nuestro modelo consideramos un compartimento adicional para individuos en cuarentena (Q), en otras palabras, usamos un modelo SIQRS. Mientras que para modelar la población utilizamos un grafo aleatorio con distribución de conexiones tipo escala libre con pendientes negativas mayores y menores que tres, para este modelo de infección derivamos una aproximación al número reproductivo básico y logramos establecer que la cuarentena es más eficiente como mecanismo de control de epidemias para poblaciones con pendientes elevadas, esto es, entre más individuos concentradores tenga la población es mayor la eficiencia de la cuarentena para reducir el brote epidémico. Por otra parte, sin importar la pendiente de la distribución de conexiones, el mecanismo de autoprotección, que consiste en que los individuos susceptibles voluntariamente se aíslen de los infectados, resultó en la mayor reducción en el número de infectados en la población.

En resumen, nuestros conocimientos matemáticos nos permiten ver que el mejor camino para controlar una epidemia es aplicar acciones que limiten la movilidad de los individuos, concentrándose en los individuos con más conexiones, y sobre todo aplicando un proceso de autocuidado en el que los susceptibles cortan contacto con los infectados. En otras palabras, mantener la sana distancia.

*El doctor Juan Gonzalo Barajas Ramírez, es investigador de la División de Matemáticas Aplicadas del IPICYT en San Luis Potosí.

Email: jgbarajas@ipicyt.edu.mx

Tel. +52 (444) 834 2000 Ext. 7222

REFERENCIAS:

[1] Esquivel-Gómez, J.J., Barajas-Ramírez, J. G. “Efficiency of quarantine and self-protection processes in epidemic spreading control on scale-free networks” Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 013119, 2018